1.История развития числа.

Докладчик: А вы знаете, что нас с вами в древние времена скорей всего считали колдунами? В древние времена человек, который умел считать, казался колдуном. Не все грамотные люди владели подобным «колдовством». Считать умели, в основном, писцы, а еще, конечно, купцы.

Появляются купцы.
Купцы. Сложение, самое простое арифметическое действие, освоить при определенном воображении можно. Надо было только представить одинаковые палочки, камешки, ракушки.

Докладчик: Приблизительно так и нас обучали счету в первом классе. В пятом классе УЗНАЛИ название этих чисел. Как они называются и обозначаются? (Натуральные « N » - natural , Слайд №1) Какие операции допустимы на множестве натуральных чисел? (сложение, умножение)
А вот с вычитанием уже начинались проблемы. Не всегда получалось вычесть из одного числа другое. Иногда отнимаешь, отнимаешь, глядь – ничего уже не осталось. Нечего больше отнимать! Так что вычитание считалось действием мудреным и не всегда его произвести удавалось.
Но тут пришли на помощь купцы.

«Две черные палочки – это, предположим, две овцы, которые ты должен отдать, но пока еще не отдал. Это долг!»

Докладчик: В общем, человечеству же на толкование отрицательных чисел, а вместе с этим на определение понятия целых чисел Z -« zero » понадобилось тысячу с лишним лет. Зато стали допустимы операции…( сложение, вычитание и умножение ).

Вообще, проблемы, подобные вышеописанным с отрицательными числами, возникали со всеми «обратными» арифметическими действиями. Два целых числа можно было перемножить, и в результате получалось целое число. А вот результат от деления двух целых чисел целым числом оказывался не всегда. Это тоже приводило к недоумениям.

Купцы: сцена деления шоколада. Вот смотри, мы сладость какую заработали. Давай делить!!!

А как? она одна, а нас двое, а еще и гости… Придумал-дроби ее на части…

Докладчик: То есть, для того, чтобы результат деления существовал всегда, пришлось ввести, освоить и понять, так сказать, «физический смысл» дробных чисел. Так вошли в дело рациональные числа - Q -«quotient » - «отношение».

В системе рациональных чисел стали допустимы многие операции. Но, что не всегда получалось? (извлечение корней из неотрицательных чисел была допустима частично. Например «корень из 81» и «корень из 2».)

Эта необходимость привела к введению множества действительных чисел (R – real ), для которого и извлечение корней из неотрицательных чисел было допустимой алгебраической операцией. И все же оставался один недостаток – это…? (извлечение корня из отрицательных чисел.)

2. Новый материал.

В 18-м веке математики придумали специальные числа для того, чтобы получалось еще одно «обратное» действие, извлечение квадратного корня из отрицательных чисел. Это – так называемые «комплексные» числа (C -complex ). Представить их сложно, но привыкнуть к ним – возможно. Считается, что на множестве комплексных чисел допустимы все алгебраические операции. И польза от применения комплексных чисел большая. Существование этих «странных» чисел значительно облегчило расчет сложных электротехнических цепей переменного тока, а также позволило рассчитать профиль авиационного крыла. Познакомимся с ними поближе.

Перечислим минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

• С1: Существует комплексное число, квадрат которого равен -1

С2 Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С3 Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному)

Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i – imaginary – мнимый, воображаемый.. Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом:

i 2 =-1, i-мнимая единица

Определение 1:

Числа вида bi, где i – мнимая единица, называются чисто мнимыми.

Например 2i, -3i, 0,5i

Определение 2:

Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

Комплексное число записывают как z = a + bi .

Число a называется действительной частью числа z ,

число bi – мнимой частью числа z .

Их обозначают соответственно: a = Re z , b = Im z .

Арифметические действия:

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение

(a + bi) × (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

3. Практика.

Учебник Мордкович А.Г. Профильный уровень. 11 класс. Рассмотрим простейшие примеры работы на множестве комплексных чисел.

Рассмотреть пример № 1,2 – два способа. (стр.245).

Работа с учебником. №32.7, 32,10, 32,12

4.Тест (Приложение)

Д/З №32.5, 32,8, 32,11 а,б

После изучения темы «Комплексные числа
учащиеся должны:
Знать:
алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы
комплексного числа.
Уметь:
производить над комплексными числами операции сложения,
умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение
корня из комплексного числа;
переводить комплексные числа из алгебраической формы в
геометрическую и тригонометрическую;
пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с
действительными коэффициентами.

Какие числовые множества Вам знакомы?

I. Подготовка к изучению нового материала
Какие числовые множества Вам знакомы?
N
Z
Q
N Z Q R
R

Числовая система
Натуральные
числа, N
Целые числа, Z
Рациональные числа, Q
Действительные числа,
R
Комплексные
числа, C
Допустимые
алгебраические
операции
Сложение,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение, деление
Сложение, вычитание,
умножение, деление,
извлечение корней из
неотрицательных чисел
Все операции
Частично
допустимые
алгебраические
операции
Вычитание, деление,
извлечение корней
Деление,
извлечение корней
Извлечение корней из
неотрицательных
чисел
Извлечение корней
из произвольных
чисел

Минимальные условия, которым должны удовлетворять
комплексные числа:
С1) Существует квадратный корень из, т.е. существует
комплексное число, квадрат которого равен.
С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные
числа.
С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления
комплексных чисел удовлетворяют обычным законам
арифметических действий (сочетательному, переместительному,
распределительному).
Выполнение этих минимальных условий позволяет определить
все множество С комплексных чисел.

Мнимые числа

i = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i - чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами
выполняются в соответствии с условием С3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми
числами таковы:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
где a и b - действительные числа.
2

Комплексные числа

Определение 1. Комплексным числом называют сумму
действительного числа и чисто мнимого числа.
z a bi C a R, b R,
i мнимая единица.
a Re z , b Im z
Определение 2. Два комплексных числа называют
равными, если равны их действительные части и равны
их мнимые части:
a bi c di a c, b d .

Классификация комплексных чисел

Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b=o
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Мнимые числа
b≠o
Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)(c di) c d
c d

Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить
действительную часть и поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число, сопряженное данному.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то
сопряженное число обозначается z:
z x yi z x yi
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они)
равны своим сопряженным числам.
Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными
комплексными числами.

Свойства сопряженных чисел

1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число
действительное.
z z (a bi) (a bi) 2a
z z (a bi)(a bi) a 2 (bi) 2 a 2 b 2
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно
произведению сопряженных данным числам.
z1z2 z1 z2

Свойства сопряженных чисел

5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z,
равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е.
z n (z)n , n N
6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из
которых делитель отличен от нуля, равно частному
сопряженных чисел, т.е.
a bi a bi
c di c di

Степени мнимой единицы

По определению первой степенью числа i является
1
само
число i, а второй степенью – число -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Более высокие степени числа i находятся следующим
1
образом:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 и т.д.
Очевидно, что при любом натуральном n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

Определение. Число w называют квадратным корнем из
2
комплексного числа z, если его квадрат равен z: w z
Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число.
Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных
числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа
выражаются формулой:
w
a2 b2 a
i signb
2
a 2 b 2 a
, где
2
1, если b 0
signb 1, если b 0
0, если b 0
При b 0, a 0 имеем: w a , при b 0, a 0 имеем: w i a .

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексному числу z на координатной плоскости
соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их
радиусы-векторы
OM
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi
называют неотрицательное числоa 2 b2
,
равное расстоянию от точки М до начала
z a 2 b2
координат
cos
y
М (a, b)
b
φ
O
a
x
a
и sin
b
a2 b2
a2 b2
аргумент комплексно го числа
;

Тригонометрическая форма комплексного числа

z r cos i sin
где φ – аргумент комплексного числа,
r=
a 2 b2 - модуль комплексного числа,
cos
a
a2 b2
и sin
b
a2 b2

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема
Если
1.
z1 0, z2 0
и
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Теорема 2 (формула Муавра).
Пусть z - любое отличное от нуля
комплексное число, п - любое целое число.
Тогда
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

Извлечение корня из комплексного числа.

Теорема. Для любого натурального числа n и
отличного от нуля комплексного числа z существуют
n различных значений корня n-степени.
Если
z r cos i sin ,
то эти значения выражаются формулой
2 k
2 k
wk r cos
i sin
,
n
n
где k 0,1,..., (n 1)

1,85  -2  0,8 Мир чисел бесконечен.  Первые представления о числе возникли из счета предметов (1, 2, 3 и т. д.) – НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.  В последствии возникли ДРОБИ как результат измерения длины, веса и т. д. (, и т. д.)  ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, появились с развитием алгебры Целые числа (т. е. натуральные 1, 2, 3,и т. д.), отрицательные числа (-1,-2, -3 и т. д. и нуль), дроби называются РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. ,  Рациональными числами нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если длина стороны ровна единице измерения. Чтобы точно выразить отношения несоизмеримых отрезков надо ввести новое число:  ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (и т. д.) Рациональные и иррациональные – образуют множество: Действительных чисел. При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что в множестве действительных чисел нельзя, например, найти число, квадрат которого равен. При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами так же отмечалось, что такие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными числами. Что бы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа – Комплексные числа Комплексные числа 2=-1 3=- = 4 =1 b - Мнимые числа a + b – Комплексные числа a, b – Любые действительные числа Прошлое и настоящее комплексных чисел. Комплексные числа возникли в математике более 400 лет назад. Впервые столкнулись с квадратными корнями из отрицательных чисел. Что такое, какой смысл следует предавать этому выражению, никто не знал. Квадратный корень из любого отрицательного числа не имеет смысла во множестве действительных чисел. С этим сталкиваются при решении квадратных, кубических уравнений, уравнений четвертой степени. МАТЕМАТИКИ СЧИТАЛИ: ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР Квадратные корни из отрицательных чисел – ввиду, что они не больше, не меньше и не равны нулю – не могут быть причислены к возможным числам. Готфрид Вильим Лейбнец Готфрид Лейбнец называл комплексные числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», выродком мира идей, почти двойственным существом, находящимся между быть и не быть». Он даже завещал начертить на своей могиле знак как символ потустороннего мира. К. Гаусс в начале ХĮХ века предложил назвать их «комплексными числами». К. Ф. гаусс Формы комплексных чисел: Z=a+bi – алгебраическая форма Z=r() – тригонометрическая Z=rE - показательная Комплексные числа применяются:  При составлении географических карт  В теории самолетостроения  Использованы в разнообразных исследованиях по теории чисел  В электромеханике  При изучении движения естественных и искусственных небесных тел и т. д. И в заключение презентации предлагая Разгадать кроссворд «Проверь себя» 8 1 3 2 7 5 6 4 1.Как называется число вида Z=a+bc? 2.В какой степени мнимой единицы получается один? 3.Как называются числа отличающиеся лишь знаком при мнимой части?4. Длина вектора. 5.Угол под которым находится вектор. 6. Какая форма комплексного числа: Z=r(cos +sin)? 7. Какая форма комплексного числа Z=re? 8. Вид Д=b -4ac, что такое Д?

1 слайд

2 слайд

N C Z C Q C R C C N- ”natural” R- “real” C - “complex” Z – исключительная роль нуля “zero” Q – “quotient” отношение (т.к. рациональные числа – m/n) C R Q Z N

3 слайд

Минимальные условия комплексного числа 1) Существует число, квадрат которого = -1. 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяет обычным законом арифметических действий.

4 слайд

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый») "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707-1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и» отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. К а р д а н о, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

5 слайд

Условия про операции комплексных чисел позволяют умножать комплексные числа на мнимую единицу (i). Такое произведение называют чисто мнимыми числами. Например: i, 2i, -0,3i – чисто мнимые числа. 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i2=-39 ПРАВИЛА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 10 ai+bi=(a+b)i 20 a(bi)=(ab)i 30 (ai)(bi)=abi2= -ab 40 0i =0

6 слайд

Сумма a+bi (a и b действительные числа) а = 0, то a+bi =0+bi=bi (мнимое) b = 0, то a+bi =а+0=а (действительное) а не равно нулю, то a+bi ни действительное, не мнимое. Оно более сложное составное число. КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЗЫВАЮТ СУММУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА И ЧИСТО МНИМОГО ЧИСЛА Z=a + bi